二项式定理与基本恒等式

### 二项式系数与帕斯卡三角

**二项式系数：**符号$\dbinom{n}{k}$叫做二项式系数，可以表示从$n$个元素的集合中选$k$个元素作为自己的方案数，相当于组合数。

**帕斯卡三角：**即杨辉三角，帕斯卡三角形的第$n$行第$k$列表示$\dbinom{n}{k}$

如图：许多将使用到帕斯卡三角作为辅助

![](https://pic.imgdb.cn/item/64e37e37661c6c8e540d2b1b.png)

### 基本恒等式

#### 0）

$$
{\dbinom{n}{k} }=\frac{ n! }{ k!(n-k)! }
$$

最基本的定义计算式

#### 1)  对称恒等式

$$
{ \dbinom{n}{k} }={ \dbinom{n}{n-k} }
$$

从$n$个数中选$k$个，相当于选出剩下的$n-k$个

#### 2）吸收恒等式

当一个变量在二项式系数外成为累赘时，常常用这两个公式将外面的变量"吸收"到二项式系数里面，故称吸收恒等式

**式1：**
$$
{ \dbinom{n}{k} }=\frac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}
$$

代入公式计算

**式2：**
$$
{ \dbinom{n}{k} }=\frac{n}{n-k}\dbinom{n-1}{k}
$$
一样代入公式计算即可

#### 3）加法(Pascal)公式

$$
{ \dbinom{n}{k} }=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}
$$

代入公式计算。

组合意义：从$n$个球中取$k$个，考虑最后一个球选不选，选就是$\dbinom{n-1}{k-1}$，不选就是$\dbinom{n-1}{k}$

#### 4)   变下指标求和

**简单和：** （帕斯卡三角形第$n$行求和）
$$
\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}=2^n
$$
从$n$个球中任意选取1个，2个......$n$个，即任意选，所以每一位可以选或不选，即为$2^n$

**交错和：**
$$
\sum_{k=0}^n{(-1)^k { \dbinom{n}{k} } }=0
$$

**证明：**
$$
\sum_{ k=0 }^n { (-1)^k { \dbinom{n}{k} } }=\sum{k=0}^n{ (-1)^k { 1 }^{n-k}{ \dbinom{n}{k} } } =(1-1)^n=0 
$$

#### 5） 变上指标求和

（帕斯卡三角形列求和）

$$
\sum_{i=0}^n{ { \dbinom{i}{k} } }={ \dbinom{n+1}{k+1} }
$$

从$n+1$选$k+1$个，枚举最后一个数的位置，从前面位置选$k$个，即为左式

或：

![](https://pic.imgdb.cn/item/64e37e13661c6c8e540c92a0.png)

用加法（Pascal）公式不断拆分，最终拆分为黑框中的元素的和。形式化解释如图

#### 6） 上下指标保持同差值求和

（帕斯卡三角形对角线求和）
$$
\sum_{k=0}^n{ \dbinom{k+r}{k} }={ \dbinom{r+n+1}{n} }
$$

**证明：**
$$
\sum_{k=0}^n{ \dbinom{k+r}{k} }=\sum_{k=0}^n{ \dbinom{k+r}{r} }={ \dbinom{r+n+1}{n} }
$$

先变成下指标不变的式子，再用公式求和、

或：

![](https://pic.imgdb.cn/item/64e37e36661c6c8e540d2a89.png)

形式化解释如图

#### 7） 上指标反转

$$
{ \dbinom{n}{k} }=(-1)^k{ \dbinom{k-n-1}{k} }
$$

${\dbinom{n}{k} }=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{ n\times (n-1)\times ...\times(n-k+1)}{ k! }$

$(-1)^k{ \dbinom{k-n-1}{k} }=(-1)^k\frac{ (k-n-1)\times(k-n-2)\times...\times (k-n-k) }{k!}=\frac{(n-k+1)\times(n-k+2)\times...\times(n-k+k)}{k!}$

上面两个式子化简出来是一样的，所以得证。

特别注意到这个式子里面有一个$(-1)^k$，所以有很多套路。

**例子：**

求$\sum_{k\leq m}{\dbinom{n}{k}(-1)^k}$。

**解法：**

如果式子里面没有$(-1)^k$，那么式子就是一个帕斯卡三角形的行求和，这是没有固定公式的。

但是出现了$(-1)^k$，那么我们就可以用上指标反转，
$$
\sum_{k\leq m}{\dbinom{n}{k}(-1)^k}=\sum_{k\leq m}{\dbinom{k-n-1}{k}}
$$
发现这个式子上下都有$k$，所以上下保持一个相同的差值在变化，即帕斯卡三角形的对角线求和

所以
$$
\sum_{k\leq m}{\dbinom{n}{k}(-1)^k}=\sum_{k\leq m}{\dbinom{k-n-1}{k}}=\dbinom{m-n}{m}
$$

### 二项式定理

二项式系数命名的由来还得追溯与二项式定理：
$$
(x+y)^n=\sum_{ k=0 }^n{ { n\choose k }x^ky^{ n-k } }
$$

**组合证明：**

考虑$(x+y)^n=(x+y)(x+y)...(x+y)$

所以项$x^ky^{n-k}$的系数为从所有的$n$个$(x+y)$中选出$k$个$x$，即为$n\choose k$

### 恒等式(续)--二项式系数乘积

#### 8)

$$
\dbinom{r}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{r}{k}\dbinom{r-k}{m-k}
$$

很可惜，这个式子没有组合意义，不过它的代数证明很简单，把左右两式拆开即可

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