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证明——三角函数的导数
最后更新于 2025-08-28 14:52:39
作者
xpg007
分类
算法·理论
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让我们来看这两个公式： $$ sin'(x) = cos(x) \\ \ \\ cos'(x) = -sin(x) $$ 从我们学习函数开始我们就见过它俩，但为什么 $sin/cos$ 导数是这样的？ 我们今天用一种特殊的方法来证明一下，那就是使用欧拉公式 $ e^{ix} = cos(x) + i \cdot sin(x)$ ，如果不知道这种展开的朋友可以先去自行学习一下再来看 我们先求导： $$ (e^{ix})' = i \cdot e^{ix} $$ 然后把右面的欧拉公式替换一下（我们一般不会在sin/cos后加小括号，但为了便于理解，这里加上了）： $$ (e^{ix})' = i \cdot (cos(x) + i \cdot sin(x)) \\ \ \\ = i \cdot cos(x) - sin(x) \\ \ \\ 展开左边： \\ \ \\ (cos(x) + isin(x))' = cos'x + i \cdot sin'x \\ \ \\ isin'x+cos'x=icos(x) - sin(x) $$ 根据判定法则：实部与实部相等，虚部与虚部相等，所以我们就得到了 $$ sin'(x) = cos(x) \\ \ \\ cos'(x) = -sin(x) $$ 证毕
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